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文兰同志的研究方向为微分动力系统。微分动力系统是一门有关系统演化规律的数学学科,其背景与物理、力学、天文等各学科密切相关,具有很强的理论和实际意义。这一学科自60年代以来迅速发展,一些重要课题如结构稳定性、分支、混沌、奇异吸引子等,已经受到各个学科的普遍关注。文兰同志的研究工作主要在以下几个方面:
一非扩张双曲吸引子的Williams猜测;
一不可逆系统的Cl封闭引理;
一流(flow )的Cl稳定性猜测;
一Cl衔接引理(与夏志宏合作)
这些课题处于微分动力系统的核心部分,具有基本的重要性,难度很大。例如Cl封闭引理,一般文献上称之为"极其困难"的定理.由于其基本的重要性,菲尔兹奖获得者,S.Smale最近把Cr
(r≥2)封闭引理列为下一世纪的18个数学问题中的第10个问题。又如稳定性猜测,文献上普遍称之为微分动力系统的"中心问题"。具体说明如下:
1.非扩张双曲吸引子的Williams猜测
Williams猜测是说,n维流形上非扩张的2维双曲吸引子必拓扑等价于一个非扩张Anosov环面自同态的逆极限。以往文献中讨论的双曲吸引子都是扩张的,而这一猜测涉及的双曲吸引子则是非扩张的。文兰这项工作在一定附加条件下证明了这一猜测。这是文献中第一篇这方面的文章,是开创性的。R.Williams称这一工作包含"大量原始创造性和洞察力"。C.Robinson称这一工作"在这个方向上迈出了很大的第一步"。详见附件3。
2.不可逆系统的Cl封闭引理
Cl封闭引理是说,任何一个近似于周期的轨道总可经适当CI小扰动而成为真正的周期轨道。这一结果是微分动力系统结构稳定性理论的一个基石,其证明以极端困难而著称。文献上已有的Cl封闭引理是对可逆系统的。文兰这一工作将可逆系统的Cl封闭引理扩充到不一定可逆的系统。文章重新证明可逆系统的封闭引理至一个强化的形式,使得有待封闭的轨道弧段的两个头中的一个可以不依赖于沿非游荡点轨道的导算子族。这一关键步骤解决了由可逆到不一定可逆所产生的实质性困难。廖山涛教授称此工作表现了作者“攀登高峰的能力和坚忍不拔的毅力”。圣彼得堡大学S.Pilyugin教授称这一工作“掀开了新的一页”，“创造了极富才华的思想，这些思想不仅对封闭问题本身而且对一个广泛领域的应用来说都是重要的”。详见附件3。
3.流的Cl稳定性猜测
Cl稳定性猜测是说,一个系统是C1结构稳定的当且仅当这一系统满足所谓公理A和强匀断条件。这是关于C1结构稳定系统的特征刻划。这一猜测由动力系统现代发展的领袖人物S.Smale在70年代初提出,被认为是微分动力系统中最重大的一个问题。对离散系统,这一猜测由Mane
(第三世界科学院数学奖获得者)和Palis(第三世界科学院数学奖获得者,国际数学家联盟IMU现任主席)解决。对连续系统即流,我国廖山涛院士(第三世界科学院数学奖获得者)做出了系统而深刻的历史性贡献。流比离散系统更真实地表现了物理、力学和天文学中的系统,也更为复杂和困难。流的奇点所导致的困难是离散系统的不动点所无法比拟的。当流的周期轨道逼近奇点时,离散系统的扰动方法不能适用。近来一个重大突破是Hayashi证明的一个Cl衔接引理。这使得完成流的Cl稳定性猜测的全部证明变得很现实。进一步要做的主要有两点:建立流的遍历封闭引理和排除给定指标周期轨道集的爆炸。文兰做到了这两点,最后完成了流的C1稳定性猜测的证明。
4.C1衔接引理(与夏志宏合作)
C1衔接引理是说,任何两条近似于相衔接的轨道总可经适当CI小扰动而真正衔接起来。前已述及,Cl衔接引理是扰动理论近年来一个重大突破。但Hayashi的Cl衔接引理尚需附加双曲性条件,因而比较特殊。文兰与夏志宏合作,证明了一个一般的C1衔接引理,并由此解决了几个提出已久的轨道衔接问题(其中的一个是Hayashi一年后才得到的他的第二个C1衔接引理)。这一工作具有基本的重要性,被提及在S.Smale关于下一世纪18个数学问题的第10个问题中。详见附件2。
廖山涛院士曾经说过:“文兰同志在微分动力系统领域的研究工作,多属于根本性的重大意义的课题。”著名动力系统权威C.Robinson也说过:“文兰持续不断地对动力系统理论做出了具有重要意义的(Significant
)贡献。在他的学术生涯中他始终在难度很大的问题上工作。”(见附件3)这是对文兰同志的研究工作的一个中肯评价。由于这些工作,文兰同志先后获得国家教委科技进步二等奖(1992),国氏博士后奖励基金(1994),陈省身数学奖(1996),求是杰出青年学者奖(1997)。
文兰同志为人谦虚厚道,学风严谨踏实。他尊重前辈,尊重师长,尊重他人的工作。他在教学中认真负责,一丝不苟。在科研上他始终在该领域最重要、最困难的问题上工作。他不受外界影响,不浮躁,一门心思作学问。他长期下苦功学习廖山涛院士在微分动力系统中独创的理论和方法,因而在他的工作中既有西方的理论方法,又有廖山涛先生的理论方法。廖山涛先生去世后,他客观上承担了承上启下的担子。在他的影响下,以北京大学、清华大学和中科院一些崭露头角的年轻人为主,渐渐形成了一个实力很强的研究小组,产生了一些很好的研究成果。
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